Lavoro effettuato dagli alunni della 5A a.s. 2016/2017
Raffaele Avallone, Noemi Cariello, Claudia D’Avino, Claudia Berriola, Domenico Odierno, Maria Pezzella, Salvatore Ruggiero, Martina Vaino
NEL VIDEO INIZIALE
“Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell’universo come l’effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che seguirà.
Ammesso per un istante che una mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell’universo assieme a quelli degli atomi più leggeri.
Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato, sarebbe presente al suo sguardo”.
INTRODUZIONE
Nella cosmologia greca, il caos è l’insieme disordinato e indeterminato degli elementi materiali che preesiste al cosmos, al tutto meravigliosamente ordinato.
Oggi, almeno per i matematici e i fisici, la parola “caos” ha un significato decisamente meno generale e più deterministico.
Il caos deterministico è la scienza che studia i grandi effetti provocati da piccole cause o, in termini più rigorosi, è la scienza che studia la dinamica dei sistemi non lineari e, comunque, dei sistemi divergenti.
Sistemi così sensibili alle condizioni iniziali che la loro evoluzione nel tempo risulta, di fatto, imprevedibile.
Il caos deterministico, è, a ragione o a torto, uno dei protagonisti della storia scientifica e culturale degli ultimi decenni, almeno da quando, nella seconda parte del secolo, si è imposto come una disciplina fisico-matematica di successo, che ha prodotto risultati, teorici e applicativi, notevoli.
Si dice che il caos sia apparso per la prima volta sulla scena a Boston, presso il «Massachusetts Institute of Technology», nell’inverno del 1961, sul computer del meteorologo Edward Lorenz.
Tuttavia, non è stato certo Edward Lorenz a scoprire la dinamica non lineare di alcuni sistemi e le sue drammatiche conseguenze.
Molto prima, tra il serio e il faceto, Blaise Pascal aveva fatto notare che: «Se il naso di Cleopatra fosse stato diverso, a cambiare sarebbe stata l’intera faccia del mondo».
D’altra parte il senso comune conosce da sempre l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali e, quindi l’instabilità, di alcuni dei sistemi naturali che ci circondano.
Ivi inclusi i sistemi creati dall’uomo.
Quella che viene oggi definita razionalità lineare sarà acquisita lentamente nel tempo, quando Eulero, Lagrange e, infine, Pierre Simon de Laplace doteranno la fisica degli strumenti per il calcolo delle perturbazioni.
In particolare Laplace dimostra che, a causa delle mutue perturbazioni gravitazionali, i pianeti non si muovono su orbite ellittiche fisse e geometricamente perfette, come pensava Keplero.
Ma su orbite se non erratiche, certo un po’ contorte e abbastanza mutevoli.
Quasi un secolo dopo un altro matematico francese, Henri Poincarè, non solo dimostra la non integrabilità, ovvero l’impossibilità di ottenere una soluzione generale esatta, del cosiddetto «problema a tre corpi»; ma scopre che, anche in presenza di leggi naturali perfettamente note, vi sono sistemi la cui evoluzione è strutturalmente imprevedibile, perché piccoli errori nella conoscenza delle loro condizioni iniziali producono grandi errori nella conoscenza delle loro condizioni finali.
Poco dopo Jacques Hadamard si impegna nello studio delle geodetiche, le linee più brevi tra due punti di una certa configurazione geometrica, di alcune particolari superfici a curvatura infinita .
Che è un po’ come tentare di seguire le traiettorie di due palle su un biliardo incurvato a sella di cavallo. Hadamard si accorge che ogni differenza, anche minima, nelle condizioni iniziali di due geodetiche che restano a distanza finita, possono produrre una variazione di grandezza arbitraria nell’andamento finale della curva.
Secondo il filosofo Karl Popper sarebbe stato questo colpo ad effetto sul biliardo di Hadamard a segnare il crollo definitivo, che lui evidentemente dà per avvenuto, del determinismo scientifico.
CONTESTUALIZZAZIONE STORICA
La Teoria del Caos, dunque, nasce e si sviluppa in stretta concomitanza con la profonda crisi del determinismo scientifico classico, quello di stampo newtoniano, una crisi iniziata durante l’Ottocento e da cui scaturirono, nei primi decenni del secolo successivo, due fra le teorie più rivoluzionarie della storia della scienza: la Relatività e, soprattutto, la Meccanica Quantistica.
La Teoria del Caos si inserisce proprio nel solco di questa radicale messa in discussione delle concezioni scientifiche che avevano dominato le scienze europee da Galilei e Newton in poi.
La crisi di tale determinismo scientifico segna quindi l’importante passaggio dal Kosmos della scienza newtoniana, dal suo ordine deterministico, lineare e reversibile, alla riscoperta del carattere irriducibilmente caotico, polimorfo, complesso e irreversibile della natura.
Il 1800 è il secolo della vera rivoluzione nella vita dell’uomo: treni, automobili, lampadine, telefoni.
La vita non era mai sembrata così semplice, la realtà si stava piegando ai bisogni dell’essere umano, ogni evento fisico pareva perfettamente controllabile e prevedibile.
Laplace, filosofo francese, ci sta dicendo proprio questo: ammettendo di conoscere esattamente la condizione attuale di un sistema, un cervello abbastanza vasto sarebbe in grado di conoscere con esattezza gli stati passati e futuri del sistema stesso.
Siamo nell’epoca del determinismo, prima che Einstein sconvolgesse tutto ciò che vediamo e Freud ci facesse dubitare perfino di noi stessi, e un po’ ovunque si respira quest’atmosfera.
In Francia, ad esempio, Auguste Comte sta per pubblicare il suo manuale, Lezioni di Filosofia Positiva, in cui teorizza le sue idee sulla società che, in un futuro per lui non molto lontano, sarà retta da una casta di ingegneri, una vera e propria tecnocrazia, dove il calcolo della spesa precisa da investire nella sanità sarà dato da una serie di equazioni.
Lì vicino nascono anche i Naturalisti Zolà, Flaubert, i fratelli Goncourt, scrittori francesi il cui obbiettivo è l’indagine dei vari strati sociali, al fine di determinare quelle leggi che, come le equazioni della fisica, stanno alla base delle emozioni umane.
Tutto sta per subire però una brusca svolta e molte certezze sono destinate a crollare.
L’ESPERIENZA DI LORENZ
Lorenz era stato da sempre affascinato dal tempo atmosferico.
Fin da bambino aveva tenuto diari con temperature massime e minime della cittadina nel Connecticut da dove proveniva, così non doveva essere stato molto dispiaciuto quando, durante la seconda guerra mondiale, dopo una brillante laurea in matematica, era stato assegnato al reparto di meteorologia.
Alla fine della guerra aveva infatti deciso di dedicarsi proprio a quel campo.
Un pomeriggio Lorenz, volendo esaminare una fase di elaborazione più lunga, decise di inserire come parametri iniziali dei dati copiati esattamente da metà dello stampato precedente, senza ripercorrerlo per intero.
Aspettandosi un grafico esattamente uguale a quello precedente, proviamo a immaginare la sua sorpresa nel constatare che non solo i due grafici non erano identici, ma divergevano in maniera decisamente considerevole dopo un intervallo di tempo quasi insignificante.
Ovviamente Lorenz pensò ad un errore, ripeté l’esperienza e forse diede anche una controllata alle valvole della macchina, ma infine si rese conto di un fatto: nella memoria di questo la cifra appariva con sei decimali; sullo stampato, per risparmiare spazio e inchiostro, erano ridotti a tre.
Possibile che questa differenza così piccola potesse determinare una tale divergenza?
La risposta è: sì.
Lorenz diede a questo fenomeno il nome di “effetto farfalla”, dal titolo di una conferenza tenuta nel 1972 che recitava proprio: “Può, il batter d’ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?”.
Potrebbe sembrare un concetto complesso, ma in realtà ci è molto familiare.
Per chiarirlo si potrebbe ricorrere ad un paio di esempi letterari: è la stessa idea che sta alla base dell’epiphany di Joyce, dove i personaggi subiscono una sorta di rivelazione, quasi in senso biblico, come conseguenza di un evento o una frase del tutto casuale, come il suono dell’organetto in Eveline una protagonista dei Dubliners.
Ancora più chiaro nella spiegazione potrebbe essere l’Impiegato Belluca, personaggio di una delle novelle pirandelliane, che decide di rivoluzionare del tutto la sua vita in seguito ad un avvenimento che chiunque potrebbe ritenere insignificante, cioè l’aver udito in lontananza il fischio di un treno, che gli ha improvvisamente ricordato che, oltre la “trappola” della sua vita domestica, c’era tutto un mondo da scoprire.
Il nome tecnico dell’effetto farfalla è dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
DAL PUNTO DI VISTA SCIENTIFICO
Il vero grande merito di Lorenz sta però nel non essersi fermato qui.
Da buon matematico si chiese come fosse possibile creare un sistema di equazioni tale da determinare risultati ogni volta diversi, senza mai piombare in uno stato di equilibrio.
Si era reso conto del fatto che, per riprodurre adeguatamente la meteorologia reale, l’imprevedibilità era una condizione necessaria.
Dodici equazioni sembravano comunque troppe, ed esigevano un’importante potenza di calcolo, così Lorenz trovò un sistema di tre sole equazioni che rispettava i requisiti necessari.
Era un sistema non-lineare, cioè non presentava una semplice relazione di dipendenza diretta tra le incognite.
Von Neumann ce ne dà un’esauriente definizione: “Il carattere dell’equazione muta simultaneamente in tutti gli aspetti pertinenti: si hanno grandi mutamenti sia di ordine che di grado. Perciò ci si devono attendere grandi difficoltà matematiche”.
L’aspetto del sistema era in realtà quasi banale, un qualsiasi matematico ad un primo sguardo avrebbe senza dubbio pensato di poterlo risolvere in un attimo.
Lorenz si era basato sullo studio di un particolare moto dei fluidi: il moto convettivo.
Questo è un fenomeno molto comune in natura, basti pensare ad una pentola di acqua bollente: l’acqua sul fondo ricevendo una maggior quantità di calore si scalda più velocemente, si espande e di conseguenza sale, ma una volta in superficie si raffredda, affondando di nuovo. Si viene così a determinare un moto per celle che troviamo per esempio a livello atmosferico, dove l’incontro tra venti diversi genera delle celle di circolazione (la cella di Hadley, di Ferrel e quella polare), o all’interno di molti corpi celesti.
Dal sistema a tre variabili, Lorenz stampò una serie di punti (x, y, z) che poi usò come coordinate spaziali.
La traiettoria formata dai punti avrebbe potuto percorrere un circuito chiuso, portando ad una andamento ciclico o arrestarsi in punto, dove il sistema sarebbe stato in equilibrio.
In realtà la curva di Lorenz aveva un comportamento del tutto diverso: pur non uscendo mai da determinati limiti, sembrava non intersecarsi mai, dando vita a quello che è ora noto come “attrattore di Lorenz”, ormai simbolo per eccellenza della teoria del caos.
DEFINIZIONE STRETTAMENTE SCIENTIFICA
La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.
I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una empirica casualità nell’evoluzione delle variabili dinamiche.
Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l’andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.
Nell’uso comune, caos significa uno stato di disordine.
Tuttavia, nella teoria del caos, il termine viene definito con maggiore precisione.
Anche se non esiste una definizione matematica universalmente accettata di caos, una definizione comunemente utilizzata afferma che un sistema dinamico deve avere le seguenti caratteristiche per essere classificato come caotico:
– deve essere sensibile alle condizioni iniziali;
– deve esibire la transitività topologica;
– deve avere un insieme denso di orbite periodiche.
CONSIDERAZIONI PRATICHE
Un’applicazione pratica della teoria del caos la si può avere considerando che la linea evolutiva che ha portato alla nascita degli esseri viventi sia stata innescata da una creatura unicellulare.
Mettendo momentaneamente da parte le teorie alternative, supponiamo come certa l’origine della vita a partire da un ente unicellulare.
Se questa cellula non fosse esistita o se non avesse avuto modo di svilupparsi, nessuna altra forma di vita si sarebbe avuta, oppure si sarebbe sviluppata in modo diverso.
Quell’ente unicellulare non si sarebbe potuto evolvere in un pesce e poi in un anfibio o in un rettile.
Si tratta di una reazione a catena che, se non si fosse verificata, avrebbe precluso ai mammiferi – e quindi all’uomo stesso – di vivere.
Se l’uomo vive, nasce, respira e si evolve, lo deve a quell’unico evento che ha potuto generare la nostra cellula.
Lavoro effettuato dagli alunni della 5A a.s. 2016/2017
Raffaele Avallone, Noemi Cariello, Claudia D’Avino, Giuseppe Lanzuise, Domenico Odierno, Maria Pezzella, Salvatore Ruggiero, Martina Vaino